Покажем график полного исследования функции. Найдите область функции. Определите, является ли функция четной или нечетной. Выясните, является ли функция периодической. Найдите точки пересечения графика функции с осью ординат. <Найдите нули функции, где график функции пересекает ось абсцисс. Исследуем функцию с помощью первой производной: a Находим критические точки первого рода; b Находим промежутки возрастания и убывания функции; c Находим точки экстремума функции и значение функции в точках экстремума. Исследуем функцию с помощью второй производной: а находим критические точки второго рода; b находим интервалы выпуклости и вогнутости функции; c находим точки перегиба графика функции.

Найдите асимптоты графика функции. Постройте график функции. Найдите промежутки непрерывности функции: промежутки, на которых функция положительна, и промежутки, на которых функция отрицательна. Найти область значений функции. Источник Исследование поведения функций с помощью производной Интервалы возрастания и убывания функции Достаточные условия для возрастания и убывания функции Экстремумы максимумы и минимумы функции "Подозрительно" наличие экстремума функции.

Достаточные условия существования экстремума функции Пример исследования поведения функции Интервалы возрастания и убывания функции Для нахождения интервалов, в которых функция возрастает или убывает, часто используется метод, основанный на анализе знаков производной рассматриваемой функции.

Суть этого метода заключается в следующем. Точка x называется точкой максимума функции f x , если существует интервал a, b , такой, что a для точек x выполняется неравенство. Таким образом, если x является точкой максимума функции f x , то в интервале a, b значение функции f x больше всех остальных значений функции. Определение 2.

Точка x называется точкой минимума функции f x , если существует интервал a, b , такой, что a для точек x выполняется неравенство. Другими словами, если x является точкой минимума функции f x , то в интервале a, b значение функции f x меньше всех остальных значений функции.

Определение 3. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции, а значения функции в точках экстремума - экстремумами функции. Теорема Ферма Определение 4. Стационарной точкой функции называется точка, в которой производная функции равна нулю. Определение 5. Критическая точка функции - это точка, в которой производная функции равна нулю или не существует. Таким образом, если x - критическая точка функции, то x - либо стационарная точка функции, либо производная функции в точке x не существует.

Поскольку x - точка максимума, то для любой точки x1 такой, что x1 , выполняется неравенство f x1 , следовательно. Замечание 1. Из утверждения 2 следует, что точки экстремума функции следует искать только среди критических точек функции, так как остальные некритические точки могут не содержать экстремумов. По этой причине критические точки функции часто называют точками экстремума.

Достаточные условия существования экстремума функции В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики и не приводится в нашем пособии, сформулированы достаточные условия существования экстремума функции. Утверждение 3. Рассмотрим функцию f x , непрерывную в интервале a, b, содержащем точку x, производная которой существует в каждой точке этого интервала, кроме, может быть, самой точки x. Если для точек b

Если для точек выполняется условие: Замечание 2. Пример исследования поведения функции Пример. Для этого представим формулу 2 в виде 3 и разложим правую часть формулы 3 : 4 Используя метод интервалов на рисунке 8, покажем на числовой оси знаки производной 4 Как решение неравенства.


Навигация

Comments

  1. Скромнее нужно быть


Add a Comment

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *