Иногда встречаются еще более редкие типы ДУ: уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и т.д. Среди ДУ второго порядка часто встречаются уравнения, сводящиеся к ДУ первого порядка, линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Дифференциальное уравнение: решение - что это значит и как его найти? При решении ДУ нас просят найти либо общее интегральное решение, либо частное решение.

Геометрически общее решение - это семейство кривых на координатной плоскости, а частное решение - это одна прямая из этого семейства, проходящая через точку. Рассмотрим примеры решений некоторых ДМ. Начнем с ДУ первого порядка с разделяющимися переменными: Здесь все очень просто, как на уроке физкультуры, когда ученики класса делятся на две команды, в одной из которых только мальчики, а в другой только девочки.

В уравнении мы делаем следующее: слева от знака равенства ставим все, что содержит переменную y, а справа - переменную x. Все очень просто, не правда ли? Решение однородных DDE второго порядка с постоянными коэффициентами не сложнее. Все, что нам нужно знать из школьной алгебры, - это как решать квадратные уравнения, а из курса ДМ - как правильно записать общее решение.

Для наглядности рассмотрим пример: Составляем характеристическое уравнение, заменяя переменную y на переменную k, а количество штрихов соответствующей степенью Два штриха - степень 2, один штрих - степень 1, ни одного штриха - степень 0.

Получаем квадратное уравнение.

Получаем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта или теоремы Виета: После нахождения корней характеристического уравнения вспомните правила записи общего решения однородной ДН: корни характеристического уравнения вещественны и различны.

Общее решение записывается в виде: Корни характеристического уравнения комплексные. Общее решение записывается в виде: Корни характеристического уравнения действительны и равны. Общее решение записывается в виде: Вспомним, что наше уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, общее решение записываем в виде: Решение линейных неоднородных DDE с постоянными коэффициентами проводится в два этапа: нахождение общего решения линейного однородного DDE; нахождение частного решения линейного неоднородного DDE.

Первым шагом является нахождение общего решения линейного однородного DDE.

Выполнение первого шага рассмотрено в примере чуть ранее. Форма поиска частного решения неоднородной ДН зависит от того, что стоит справа от знака равенства в уравнении.

Все возможные случаи подробно рассмотрены в учебнике. Итак, тема "Решение задач по дифференциальным уравнениям" изучается в высших учебных заведениях, но, как показано выше, решение некоторых ДУ под силу и старшекласснику. Дифференциальные уравнения и методы их решения рассматриваются практически в каждом учебнике по высшей математике и математическому анализу. Особенно хорошо эта тема раскрыта в учебнике автора Пискунова Н. Для вузов. С помощью этого учебника можно изучить методы решения тех типов ДУ, которые не были рассмотрены в данной статье.

Решение дифференциальных уравнений на заказ У нас вы можете выгодно заказать решение задач с дифференциальными уравнениями. Нами накоплен большой опыт решения задач по этой дисциплине, которым мы готовы поделиться с вами. Работа будет составлена очень подробно. При заказе большого количества задач действует скидка. Купить решение вы можете, оформив заказ на нашем сайте.

Закажите сейчас.


Навигация

Comments

  1. Давайте поговорим, мне есть, что сказать.


Add a Comment

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *